Histórias da Matemática

 

 

 

HISTÓRIA DOS

 

 NÚMEROS

 

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não – para ajudar seu sentido do número – artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: “três vezes” e “muito”. Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra “cálculo“, da palavra latina calculus, que significa pedra.

 

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de “fazer corresponder”. Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3…

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4…

A criação de um símbolo para representar o “nada” constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor – fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

 

 

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo
1 en unus eins one un odyn
2 duo duo zwei two deux dva
3 tri tres drei three trois tri
4 tetra quatuor vier four quatre chetyre
5 pente quinque fünf five cinq piat
6 hex sex sechs six six chest
7 hepta septem sieben seven sept sem
8 octo octo acht eight huit vosem
9 ennea novem neun nine neuf deviat
10 deca decem zehn ten dix desiat
100 hecaton centum hundert hundred cent sto
1000 xilia mille tausend thousand mille tysiatsa

 

 

ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS

   numero-negativo O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. 

    Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras – vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas 
sobre números negativos e positivos. 

    Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu “Aritmetika”, no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:

4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2

    Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de “numeri absurdi”. Cardano usou os números negativos embora chamando-os de “numeri ficti”. A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.

 

Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)

    Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos negativocientíficos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos: 

    1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab. 

    2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab 
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. 

    3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab. 
 

É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer “espírito” mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que – por – = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitavelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal – (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.

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Potenciação

 

Potenciação

 

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais.

 

Exemplo:

 

5 x 5 x 5, indicada por 53, ou seja; 53 = 5 x 5 x 5 = 125

 

No exemplo acima temos:

 

  • 5 é chamado de base (fator que se repete)
  • 3 é chamado de expoente (indica o número de vezes que repetimos a base)
  • 125 é a potência (resultado da operação)

 

Outros exemplos:

 

  • a) 23 = 2 x 2 x 2 = 8
  • b) 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
  • c) 52 = 5 x 5 = 125

 

LEITURA:

 

  • O expoente 2 é chamado de quadrado.
  • O expoente 3 é chamado de cubo.
  • O expoente 4 é chamado de quarta potência.
  • O expoente 5 é chamado de quinta potência.

 

Assim:

 

  • 72 lê-se: sete ao quadrado
  • 63 lê-se: seis ao cubo
  • 24 lê-se: dois elevado à quarta potência
  • 35 lê-se: três elevado à quinta potência

 

Observação:

  • Ø Todo número elevado ao expoente 1 é igual à própria base.
  • Ø Todo número elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1 (um).

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Sendo 43 = 64, responda:

 

  • a) Quem é a base?
  • b) Quem é o expoente?
  • c) Quem é a potência?

 

2 – Escreva na forma de potência:

 

  • a) 5 x 5
  • b) 3 x 3 x 3
  • c) 7 x 7 x 7
  • d) 2 x 2 x 2 x 2 x 2
  • e) a x a x a x a

 

3 – Calcule as potências:

 

  • a) 23
  • b) 42
  • c) 54
  • d) 05
  • e) 16
  • f) 30
  • g) 40
  • h) 62
  • i) 241
  • j) 670

 

4 – Sendo x = 2, y = 3 e z = 4, calcule:

 

  • a) x2
  • b) y3
  • c) z5
  • d) xy
  • e) yx
  • f) xz
  • g) 3x
  • h) 4z
  • i) 5y

 

5 – Calcule:

 

  • a) O quadrado de 11
  • b) O cubo de 7
  • c) O quadrado de 8
  • d) A quinta potência de 2

 

6 – Quem é maior?

 

  • a) 23 ou 32
  • b) 1120 ou 1201
  • c) 560 ou 056

 

7 – Calcule:

 

  • a) 3.102
  • b) 5.34
  • c) 7.43

 

Números primos e compostos

Números Primos e números compostos

 

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

 

Exemplos de números primos:

 

  • a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2}
  • b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}
  • c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}
  • d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)
  • e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}

 

O conjunto dos números primos é infinito.

 

P = {2, 3, 5, 7, 11,…}

 

Exemplos de números que não é primo:

 

  • a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}
  • b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}
  • c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}
  • d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}
  • e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

 

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

 

Saiba que;

  • O número 2 é o único número par que é primo.
  • O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos e quais são compostos:

 

12       13       14       15       16       17       18       19       20

 

2 – Qual é o menor número primo?

 

3 – Quantos e quais são os números primos?

 

4 – Quais são os dez primeiros números primos?

 

5 – Classifique como verdadeiro ou falso:

 

  • a) Todos os números primos são ímpares.
  • b) Existem números que são primos e compostos.

 

 

Reconhecimento de um número primo

 

Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.

 

Exemplos:

 

O número 43 é primo?

 

  • 43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1
  • 43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1
  • 43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3
  • 43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1

Observe que;

 

  • Nenhuma dessas divisões é exata.
  • O quociente 6 é menor que o divisor 7.
  • Logo 43 é um número primo.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Utilize o reconhecimento visto anteriormente e verifique se os números abaixo são primos.

 

31       97       91       45       36       73

Números naturais, múltiplos e divisores


Queridos alunos;




Você encontrará aqui alguns desafios e exercícios que competem com o conteúdo. Estude, pois estudar é muito importante. Tentem resolver o DESAFIO DO EINSTEIN proposto na página inicial e deixem sempre um comentário.




Profº Flor




_______________________________________________________________




►Conjunto dos NaturaisOs números que pertencem ao Conjunto dos Naturais são os não decimais maiores e iguais a zero.




 




N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




Dentro de um conjunto podemos tirar um subconjunto (conjunto retirado de dentro de outro conjunto), dentro do conjunto dos naturais temos o conjunto dos naturais menos o zero, esse conjunto é representado por N*:




N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




• Quando vamos fazer a comparação de elemento com conjunto ou vice-versa utilizamos o símbolo de (pertence) e  (não pertence):




Por Exemplo:
5  N




3,58 N




Representação Geométrica de N







A reta numérica dos naturais cresce apenas para a esquerda.




 




EXERCÍCIOS




1 – Escreva dez números naturais.




2 – Escreva dez números naturais pares.




3 – Escreva dez números naturais ímpares.




 




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Como sabemos se um número é múltiplo ou divisor de outro número? 




A divisão inteira ou euclidiana fundamenta-se na teoria da divisibilidade dos números Naturais. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa as eleições conjuntas para ambos os cargos?




 




Múltiplos e divisores de um número




Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 




O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. 




O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.




O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. 




O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. 




O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.




Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 




M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…} 




Para lembrar:














O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.




Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…} 




Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 




Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 




D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 




Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 




OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.




Exemplo:




múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…….




múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….




múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….




 




Agora é com vocês!!!




 




EXERCÍCIOS:




4 – Calcule os múltiplos de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.




5 – Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.




6 – Calcule os divisores de 8, 9, 12, 18 e 24.




7 – Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?




8 –  Qual é o número que é divisor de qualquer número?




9 – O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?




10 – Como devemos proceder para saber se um número é divisor de outro?

Números inteiros

NÚMEROS INTEIROS

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números inteiros relativos, que será indicado por Z.

Z = {…., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4,…..}

  • Os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal +.
  • O número zero não é positivo nem negativo.

 De acordo com as explicações e exposições feitas em sala de aula, ou até mesmo de conhecimentos adquiridos, resolva os exercícios abaixo.

 

Exercícios

1 – Responda:

  • a) Qual o oposto de um número positivo?
  • b) Qual o oposto de um número negativo?

2 – Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número?

3 – Coloque os números em ordem crescente

  • a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243
  • b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505

4 – Um garoto faz o seguinte percurso sobre uma reta numérica: “A partir do zero, ele caminha cinco unidades no sentido positivo e em seguida anda sete unidades no sentido negativo.” Determine o ponto em que se encontra o garoto após esse percurso.

5 – Uma escola promoveu jogos esportivos cujos resultados estão descritos abaixo:

Carlos            3 pontos ganhos

Sílvio              8 pontos perdidos

Paulo              7 pontos ganhos

Mário              0 pontos

Coloque os nomes na ordem do melhor classificado para o pior.

6 – Considere as afirmações:

  • I) Qualquer número negativo é menor do que 0 (zero).
  • II) Qualquer número positivo é maior do que 0 (zero)
  • III) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo.

Quais das afirmações são verdadeiras?

7 – Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4? 

8 – Calcule:

  • a) + 10 + 2
  • b) + 2 + 21
  • c) + 5 + 18
  • d) + 23 + 21
  • e) + 12 + 34
  • f) + 12 – 8
  • g) + 15 – 6
  • h) + 45 – 32
  • i) + 56 – 34
  • j) + 57 – 31
  • k) – 32 + 25
  • l) – 23 + 12
  • m) – 15 + 13
  • n) – 45 + 40
  • o) – 35 + 27
  • p) – 23 + 32
  • q) – 32 + 53
  • r) – 12 + 32
  • s) – 11 + 40
  • t) – 36 + 54
  • u) – 5 – 9
  • v) – 12 – 13
  • w) – 23 – 10
  • x) – 35 – 16
  • y) – 51 – 21

9 – Calcule:

  • a) ( + 12 ) + ( + 21 )
  • b) ( + 13 ) + ( + 7 )
  • c) ( + 23 ) + ( + 21)
  • d) ( – 12 ) + ( – 11 )
  • e) ( – 23 ) + ( – 4 )
  • f) ( – 21 ) + ( – 12 )
  • g) ( + 10 ) + ( – 13 )
  • h) ( + 21 ) + ( – 23 )
  • i) ( + 40 ) + ( – 17 )

10 – Calcule x – y:

  • a) x = + 6  e  y = + 5
  • b) x = – 7  e  y = + 8
  • c) x = – 9  e  y = – 5
  • d) x = + 12  e  y = – 15

11 – Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7300,00 de outra empresa. Represente essa situação com apenas um número inteiro?

12 – Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual foi o seu lucro?

13 – Resolva:

  • a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 )
  • b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 )
  • c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 )
  • d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 )
  • e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 )
  • f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 )

14 – Elimine os parênteses:

a)    + ( – 3 + 8 )

b)    – ( – 3 + 8 )

c)    + ( 5 – 6 )

d)    – ( – 3 – 1 )

e)    – ( – 6 + 4 – 1 )

f)     – 6 – ( – 3 + 2 )

g)    18 – ( – 5 – 2 – 3 )

h)   20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 )

i)     – 32 – 1 – ( – 12 + 14 )

j)      7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 )

 

15 – Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: 

  • Retiramos 80 litros
  • Colocamos 45 litros
  • Colocamos 30 litros
  • Retiramos 130 litros
  • Retiramos 80 litros

Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

 

16 – Qual é o sinal de um produto:

 a) que tem dois números positivos?

b) que tem dois números negativos?

c) que tem um número positivo e outro negativo?

 

17 – Efetue as multiplicações:

 

a) ( + 5 ) . ( + 3 )

b) ( + 4 ) . ( – 5 )

c) ( – 8 ) . ( + 4 )

d) ( – 6 ) . ( – 7 )

e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 )

f) ( – 5 ) . ( – 6  ) . ( – 2 )

g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 )

h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 )

 

18 – Determine o sinal de cada produto:

 a) +.+.+.+

b) -.-.-.-.

c) +.-.+.-

d) +.+.-.+.-.-

 

18 – Efetue as divisões:

 a) ( + 15 ) : ( + 3 )

b) ( + 20 ) : ( – 4 )

c) ( – 35 ) : ( + 7 )

d) ( – 40 ) : ( – 5)

e) (+  51 ) 😦 – 3 )

f) ( – 77 ) : ( + 11 )

g) 500 : ( – 25 )

h) ( – 750 ) : 10