Divisibilidade e múltiplos

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Divisibilidades

Divisores de um número

 

Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro. 

 

Por exemplo:

 

 

·        8 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 8

·        6 é múltiplo de 3, então 3 é divisor de 6

·        12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12

 

Indicamos divisores por D

 

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

 

 

Exercícios

 

1 – Escreva os divisores dos seguintes números

 

a)     4

b)     5

c)     7

d)     9

e)     10

f)       18

 

2 – Qual é o menor e o maior divisor de um número?

 

 

Divisibilidades

 

Encontraremos aqui alguns critérios que nos ajudarão para saber quando é que um número é divisível por outro.

 

Divisibilidade por 2

 

ü     Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando for par.

 

Divisibilidade por 3

 

ü     Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3, ou seja, quando a soma for múltiplo de 3.

 

Divisibilidade por 4

 

ü     Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

 

Divisibilidade por 5

 

ü     Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

 

Divisibilidade por 6

 

ü     Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

 

Divisibilidade por 9

 

ü     Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9, ou seja, quando a soma for múltiplo de 9.

 

Divisibilidade por 10

 

ü     Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).

 

 

Exercícios

 

1 – Dos números abaixo, quais deles são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.

 

16           128                 287                 1006            43                   265

480         4785               76                  342               632                 8335

82            231                700                 5000            2556               160

 

 

 

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

 

1 – Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5 menores que 37?

 

2 – Qual o menor múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 500? E o maior?

 

3 – Qual é o menor e maior divisor de 14?

 

 

4 – Qual dos números abaixo é divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo?

 

1277               5819               5336               2556

 

5 – Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5?

 

160                 180                 225                 230

 

6 – Qual é o menor número que se deve adicionar a 371, para se obter um número divisível por 6?

 

 

DESAFIOS

 

 

7 – Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se  esse número é divisível por 4, então qual é o maior valor que A pode assumir?

 

8 – Seja o número 51b8. Quais algarismos podemos colocar no lugar da letra b para que o número seja divisível por 3?

 

9 – Seja o número 3s76. Qual algarismo podemos colocar no lugar da letra s para que o número seja divisível por 9?

 

 

 

 

 

Números Primos

 

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 (um) e ele mesmo.

        Exemplos:
  
         1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
            2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
            3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

        Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.

        Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
        Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

  • Reconhecimento de um número primo

            Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
            =>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
            =>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

  • não é par, portanto não é divisível por 2;
  • 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
  • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
  • por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

  • não é par, portanto não é divisível por 2;
  • 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
  • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
  • por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
  • por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – O que é um número primo?

 

2 – Quais são os dez primeiros números primos?

 

3 – Qual é o único número par que é primo?

 

4 – Verdadeiro ou falso.

a) Todos os números primos são ímpares.

b) Existem números que são primos e compostos.

 

5 – Verifique se os números abaixo são primos ou compostos.

31       33       41       45       57       73       91       97       99       239