Dízimas periódicas e geratrizes

Dízimas periódicas  

    Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

                         

    Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

    Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

    As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

 (período: 5) (período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.  

 

Período: 2Parte não periódica: 0 Período: 4Período não periódica: 15 Período: 23Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

 

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Verifique se os números abaixo são dízimas periódicas:

 

a) um quarto

 

b) dois terços

 

c) quatro quintos

 

d) cinco sétimos

 

e) três oitavos

 

f) vinte e cinco sétimos

 

 

Geratriz de uma dízima

 

periódica

 

 

  É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

    Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

    Dízima simples

    A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

 

    Dízima Composta:
    A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas:

 

  • a) 0,333333….
  • b) 1,444444….
  • c) 2,525252….
  • d) – 1,313131…

 

 

2 – Escreva o número racional sete sextos dividido por 0,333333…. na forma de uma fração irredutível.

 

 

3 – DESAFIO: Encontre o valor de x que é solução da equação:

 

3 x + 0,1 x + 0,05 x + 0,005 x + 0,0005 x + ….. = 4

 

Observação: O aluno que me levar o desafio resolvido corretamente ganhará um ponto extra.

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