Números primos e compostos

Números Primos e números compostos

 

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

 

Exemplos de números primos:

 

  • a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2}
  • b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}
  • c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}
  • d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)
  • e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}

 

O conjunto dos números primos é infinito.

 

P = {2, 3, 5, 7, 11,…}

 

Exemplos de números que não é primo:

 

  • a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}
  • b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}
  • c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}
  • d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}
  • e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

 

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

 

Saiba que;

  • O número 2 é o único número par que é primo.
  • O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos e quais são compostos:

 

12       13       14       15       16       17       18       19       20

 

2 – Qual é o menor número primo?

 

3 – Quantos e quais são os números primos?

 

4 – Quais são os dez primeiros números primos?

 

5 – Classifique como verdadeiro ou falso:

 

  • a) Todos os números primos são ímpares.
  • b) Existem números que são primos e compostos.

 

 

Reconhecimento de um número primo

 

Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.

 

Exemplos:

 

O número 43 é primo?

 

  • 43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1
  • 43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1
  • 43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3
  • 43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1

Observe que;

 

  • Nenhuma dessas divisões é exata.
  • O quociente 6 é menor que o divisor 7.
  • Logo 43 é um número primo.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – Utilize o reconhecimento visto anteriormente e verifique se os números abaixo são primos.

 

31       97       91       45       36       73

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Números naturais, múltiplos e divisores


Queridos alunos;




Você encontrará aqui alguns desafios e exercícios que competem com o conteúdo. Estude, pois estudar é muito importante. Tentem resolver o DESAFIO DO EINSTEIN proposto na página inicial e deixem sempre um comentário.




Profº Flor




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►Conjunto dos NaturaisOs números que pertencem ao Conjunto dos Naturais são os não decimais maiores e iguais a zero.




 




N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




Dentro de um conjunto podemos tirar um subconjunto (conjunto retirado de dentro de outro conjunto), dentro do conjunto dos naturais temos o conjunto dos naturais menos o zero, esse conjunto é representado por N*:




N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




• Quando vamos fazer a comparação de elemento com conjunto ou vice-versa utilizamos o símbolo de (pertence) e  (não pertence):




Por Exemplo:
5  N




3,58 N




Representação Geométrica de N







A reta numérica dos naturais cresce apenas para a esquerda.




 




EXERCÍCIOS




1 – Escreva dez números naturais.




2 – Escreva dez números naturais pares.




3 – Escreva dez números naturais ímpares.




 




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Como sabemos se um número é múltiplo ou divisor de outro número? 




A divisão inteira ou euclidiana fundamenta-se na teoria da divisibilidade dos números Naturais. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa as eleições conjuntas para ambos os cargos?




 




Múltiplos e divisores de um número




Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 




O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. 




O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.




O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. 




O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. 




O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.




Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 




M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…} 




Para lembrar:














O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.




Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…} 




Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 




Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 




D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 




Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 




OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.




Exemplo:




múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…….




múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….




múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….




 




Agora é com vocês!!!




 




EXERCÍCIOS:




4 – Calcule os múltiplos de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.




5 – Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.




6 – Calcule os divisores de 8, 9, 12, 18 e 24.




7 – Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?




8 –  Qual é o número que é divisor de qualquer número?




9 – O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?




10 – Como devemos proceder para saber se um número é divisor de outro?

Números inteiros

NÚMEROS INTEIROS

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números inteiros relativos, que será indicado por Z.

Z = {…., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4,…..}

  • Os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal +.
  • O número zero não é positivo nem negativo.

 De acordo com as explicações e exposições feitas em sala de aula, ou até mesmo de conhecimentos adquiridos, resolva os exercícios abaixo.

 

Exercícios

1 – Responda:

  • a) Qual o oposto de um número positivo?
  • b) Qual o oposto de um número negativo?

2 – Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número?

3 – Coloque os números em ordem crescente

  • a) 423, – 243, 234, – 324, – 432, 342, 243
  • b) 5055, – 5005, 5505, 5005, – 5055, – 5505

4 – Um garoto faz o seguinte percurso sobre uma reta numérica: “A partir do zero, ele caminha cinco unidades no sentido positivo e em seguida anda sete unidades no sentido negativo.” Determine o ponto em que se encontra o garoto após esse percurso.

5 – Uma escola promoveu jogos esportivos cujos resultados estão descritos abaixo:

Carlos            3 pontos ganhos

Sílvio              8 pontos perdidos

Paulo              7 pontos ganhos

Mário              0 pontos

Coloque os nomes na ordem do melhor classificado para o pior.

6 – Considere as afirmações:

  • I) Qualquer número negativo é menor do que 0 (zero).
  • II) Qualquer número positivo é maior do que 0 (zero)
  • III) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número negativo.

Quais das afirmações são verdadeiras?

7 – Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4? 

8 – Calcule:

  • a) + 10 + 2
  • b) + 2 + 21
  • c) + 5 + 18
  • d) + 23 + 21
  • e) + 12 + 34
  • f) + 12 – 8
  • g) + 15 – 6
  • h) + 45 – 32
  • i) + 56 – 34
  • j) + 57 – 31
  • k) – 32 + 25
  • l) – 23 + 12
  • m) – 15 + 13
  • n) – 45 + 40
  • o) – 35 + 27
  • p) – 23 + 32
  • q) – 32 + 53
  • r) – 12 + 32
  • s) – 11 + 40
  • t) – 36 + 54
  • u) – 5 – 9
  • v) – 12 – 13
  • w) – 23 – 10
  • x) – 35 – 16
  • y) – 51 – 21

9 – Calcule:

  • a) ( + 12 ) + ( + 21 )
  • b) ( + 13 ) + ( + 7 )
  • c) ( + 23 ) + ( + 21)
  • d) ( – 12 ) + ( – 11 )
  • e) ( – 23 ) + ( – 4 )
  • f) ( – 21 ) + ( – 12 )
  • g) ( + 10 ) + ( – 13 )
  • h) ( + 21 ) + ( – 23 )
  • i) ( + 40 ) + ( – 17 )

10 – Calcule x – y:

  • a) x = + 6  e  y = + 5
  • b) x = – 7  e  y = + 8
  • c) x = – 9  e  y = – 5
  • d) x = + 12  e  y = – 15

11 – Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7300,00 de outra empresa. Represente essa situação com apenas um número inteiro?

12 – Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual foi o seu lucro?

13 – Resolva:

  • a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 )
  • b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 )
  • c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 )
  • d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 )
  • e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 )
  • f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 )

14 – Elimine os parênteses:

a)    + ( – 3 + 8 )

b)    – ( – 3 + 8 )

c)    + ( 5 – 6 )

d)    – ( – 3 – 1 )

e)    – ( – 6 + 4 – 1 )

f)     – 6 – ( – 3 + 2 )

g)    18 – ( – 5 – 2 – 3 )

h)   20 – ( – 6 + 8 ) – ( – 1 + 3 )

i)     – 32 – 1 – ( – 12 + 14 )

j)      7 + ( – 5 – 6 ) – ( – 9 + 3 )

 

15 – Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: 

  • Retiramos 80 litros
  • Colocamos 45 litros
  • Colocamos 30 litros
  • Retiramos 130 litros
  • Retiramos 80 litros

Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

 

16 – Qual é o sinal de um produto:

 a) que tem dois números positivos?

b) que tem dois números negativos?

c) que tem um número positivo e outro negativo?

 

17 – Efetue as multiplicações:

 

a) ( + 5 ) . ( + 3 )

b) ( + 4 ) . ( – 5 )

c) ( – 8 ) . ( + 4 )

d) ( – 6 ) . ( – 7 )

e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 )

f) ( – 5 ) . ( – 6  ) . ( – 2 )

g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 )

h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 )

 

18 – Determine o sinal de cada produto:

 a) +.+.+.+

b) -.-.-.-.

c) +.-.+.-

d) +.+.-.+.-.-

 

18 – Efetue as divisões:

 a) ( + 15 ) : ( + 3 )

b) ( + 20 ) : ( – 4 )

c) ( – 35 ) : ( + 7 )

d) ( – 40 ) : ( – 5)

e) (+  51 ) 😦 – 3 )

f) ( – 77 ) : ( + 11 )

g) 500 : ( – 25 )

h) ( – 750 ) : 10

Algarismos romanos

 

SISTEMA DE NUMERAÇÃO NA ANTIGUIDADE – LINK ABAIXO

http://www.matematicasociety.hpg.ig.com.br/sistema_de_numeracao.htm

 

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Algarismos Romanos

A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:

  • Nos números de capítulos uma obra.
  • Nas cenas de um teatro.
  • Nos nomes de papas e imperadores.
  • Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias…

Regras

A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:

Letras Valores
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.

Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.

Exemplos:

VI = 6
XXI = 21
LXVII = 67

A letra “I” colocada diante da “V” ou de “X”, subtrai uma unidade; a letra “X”, precedendo a letra “L” ou a “C”, lhes subtrai dez unidades e a letra “C”, diante da “D” ou da “M”, lhes subtrai cem unidades.

Exemplos:
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900

Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra “I” ou a “X” até quatro vezes seguidas.
Exemplos:
XIII = 13
XIV = 14
XXXIII = 33
XXXIV = 34

A letra “V”, “L” e a “D” não podem se duplicar porque outras letras (“X”, “C”, “M”) representam seu valor duplicado.

Exemplos:

X = 10
C = 100
M = 1.000

Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.

Exemplos:

XIX = 19
LIV = 54
CXXIX = 129

O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.

Exemplos na tabela abaixo:

Tabela de números romanos 

  

 

  

3000 MMM 30000 ____
XXX
300000 ____
CCC
4000     _
MV
40000 __
XL
400000 __
CD
5000 _
V
50000 _
L
500000 _
D
6000 __
VI
60000 __
LX
600000 __
DC
7000 ___
VII
70000 ___
LXX
700000 ___
DCC
8000 ___
VIII
80000 ____
LXXX
800000 ____
DCCC
9000 __
IX
90000 __
XC
900000 __
CM
10000 _
X
100000 _
C
1000000 __
M
20000 ___
XX
200000 __
CC
   

 

 

Questão:

Agora é com você! Escreva alguns números sob a forma de algarismos romanos.

 

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