Números naturais, múltiplos e divisores

Queridos alunos;

Você encontrará aqui alguns desafios e exercícios que competem com o conteúdo. Estude, pois estudar é muito importante. Tentem resolver o DESAFIO DO EINSTEIN proposto na página inicial e deixem sempre um comentário.

Profº Flor

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►Conjunto dos NaturaisOs números que pertencem ao Conjunto dos Naturais são os não decimais maiores e iguais a zero.

 

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}

Dentro de um conjunto podemos tirar um subconjunto (conjunto retirado de dentro de outro conjunto), dentro do conjunto dos naturais temos o conjunto dos naturais menos o zero, esse conjunto é representado por N*:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}

• Quando vamos fazer a comparação de elemento com conjunto ou vice-versa utilizamos o símbolo de (pertence) e  (não pertence):

Por Exemplo:
5  N

3,58 N

Representação Geométrica de N

A reta numérica dos naturais cresce apenas para a esquerda.

 

EXERCÍCIOS

1 – Escreva dez números naturais.

2 – Escreva dez números naturais pares.

3 – Escreva dez números naturais ímpares.

 

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Como sabemos se um número é múltiplo ou divisor de outro número? 

A divisão inteira ou euclidiana fundamenta-se na teoria da divisibilidade dos números Naturais. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa as eleições conjuntas para ambos os cargos?

 

Múltiplos e divisores de um número

Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 

O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. 

O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.

O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. 

O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. 

O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.

Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 

M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…} 

Para lembrar:

O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.

Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…} 

Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 

D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 

Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 

OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.

Exemplo:

múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…….

múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….

múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….

 

Agora é com vocês!!!

 

EXERCÍCIOS:

4 - Calcule os múltiplos de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

5 - Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.

6 - Calcule os divisores de 8, 9, 12, 18 e 24.

7 - Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?

8 -  Qual é o número que é divisor de qualquer número?

9 - O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?

10 - Como devemos proceder para saber se um número é divisor de outro?

Divisibilidades

Divisores de um número

 

Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro. 

 

Por exemplo:

 

 

·        8 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 8

·        6 é múltiplo de 3, então 3 é divisor de 6

·        12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12

 

Indicamos divisores por D

 

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

 

 

Exercícios

 

1 – Escreva os divisores dos seguintes números

 

a)     4

b)     5

c)     7

d)     9

e)     10

f)       18

 

2 – Qual é o menor e o maior divisor de um número?

 

 

Divisibilidades

 

Encontraremos aqui alguns critérios que nos ajudarão para saber quando é que um número é divisível por outro.

 

Divisibilidade por 2

 

ü     Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando for par.

 

Divisibilidade por 3

 

ü     Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3, ou seja, quando a soma for múltiplo de 3.

 

Divisibilidade por 4

 

ü     Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

 

Divisibilidade por 5

 

ü     Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

 

Divisibilidade por 6

 

ü     Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

 

Divisibilidade por 9

 

ü     Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9, ou seja, quando a soma for múltiplo de 9.

 

Divisibilidade por 10

 

ü     Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).

 

 

Exercícios

 

1 – Dos números abaixo, quais deles são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.

 

16           128                 287                 1006            43                   265

480         4785               76                  342               632                 8335

82            231                700                 5000            2556               160

 

 

 

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

 

1 – Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5 menores que 37?

 

2 – Qual o menor múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 500? E o maior?

 

3 – Qual é o menor e maior divisor de 14?

 

 

4 – Qual dos números abaixo é divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo?

 

1277               5819               5336               2556

 

5 – Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5?

 

160                 180                 225                 230

 

6 – Qual é o menor número que se deve adicionar a 371, para se obter um número divisível por 6?

 

 

DESAFIOS

 

 

7 – Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se  esse número é divisível por 4, então qual é o maior valor que A pode assumir?

 

8 – Seja o número 51b8. Quais algarismos podemos colocar no lugar da letra b para que o número seja divisível por 3?

 

9 – Seja o número 3s76. Qual algarismo podemos colocar no lugar da letra s para que o número seja divisível por 9?

 

 

 

 

 

Números Primos

 

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 (um) e ele mesmo.

        Exemplos:
            1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
            2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
            3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

        Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.

        Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
        Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

            Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
            =>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
            =>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
• por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

 

EXERCÍCIOS

 

1 – O que é um número primo?

 

2 – Quais são os dez primeiros números primos?

 

3 – Qual é o único número par que é primo?

 

4 – Verdadeiro ou falso.

a) Todos os números primos são ímpares.

b) Existem números que são primos e compostos.

 

5 – Verifique se os números abaixo são primos ou compostos.

31       33       41       45       57       73       91       97       99       239