Números naturais, múltiplos e divisores


Queridos alunos;




Você encontrará aqui alguns desafios e exercícios que competem com o conteúdo. Estude, pois estudar é muito importante. Tentem resolver o DESAFIO DO EINSTEIN proposto na página inicial e deixem sempre um comentário.




Profº Flor




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►Conjunto dos NaturaisOs números que pertencem ao Conjunto dos Naturais são os não decimais maiores e iguais a zero.




 




N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




Dentro de um conjunto podemos tirar um subconjunto (conjunto retirado de dentro de outro conjunto), dentro do conjunto dos naturais temos o conjunto dos naturais menos o zero, esse conjunto é representado por N*:




N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}




• Quando vamos fazer a comparação de elemento com conjunto ou vice-versa utilizamos o símbolo de (pertence) e  (não pertence):




Por Exemplo:
5  N




3,58 N




Representação Geométrica de N







A reta numérica dos naturais cresce apenas para a esquerda.




 




EXERCÍCIOS




1 – Escreva dez números naturais.




2 – Escreva dez números naturais pares.




3 – Escreva dez números naturais ímpares.




 




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Como sabemos se um número é múltiplo ou divisor de outro número? 




A divisão inteira ou euclidiana fundamenta-se na teoria da divisibilidade dos números Naturais. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa as eleições conjuntas para ambos os cargos?




 




Múltiplos e divisores de um número




Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 




O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. 




O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.




O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. 




O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. 




O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.




Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): 




M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…} 




Para lembrar:














O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.




Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…} 




Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10. 




Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): 




D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20} 




Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. 




OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.




Exemplo:




múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…….




múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….




múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….




 




Agora é com vocês!!!




 




EXERCÍCIOS:




4 - Calcule os múltiplos de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.




5 - Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.




6 - Calcule os divisores de 8, 9, 12, 18 e 24.




7 - Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?




8 -  Qual é o número que é divisor de qualquer número?




9 - O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?




10 - Como devemos proceder para saber se um número é divisor de outro?

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